Question

（2009•宜昌）已知：直角梯形OABC的四個頂點是O（0，0），A（，1），B（s，t），C（，0），拋物線y=x²+mx-m的頂點P是直角梯形OABC內部或邊上的一個動點，m為常數．
（1）求s與t的值，并在直角坐標系中畫出直角梯形OABC；
（2）當拋物線y=x²+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）AB∥x軸，BC∥y軸∴B點的橫坐標與C的橫坐標相同，縱坐標與A點的縱坐標相同．就可以求出s，t的值．
（2）拋物線y=x²+mx-m與直角梯形OABC的邊AB相交，拋物線的開口向上，拋物線與AB相交，因而拋物線的頂點一定在AB上或在AB的下邊，即頂點的縱坐標小于B點的縱坐標1．用m表示出頂點的縱坐標，小于或等于1，就可以得到關于m的不等式，從而解出m的范圍．
解答：解：
（1）如圖，在坐標系中標出O，A，C三點，連接OA，OC，
∵∠AOC≠90°，
∴∠ABC=90°，
故BC⊥OC，BC⊥AB，
∴B（，1）．（（1分））
即s=，t=1．直角梯形如圖所畫．（2分）
（大致說清理由即可）

（2）由題意，y=x²+mx-m與y=1（線段AB）相交，
得，（3分）
∴1=x²+mx-m，
由（x-1）（x+1+m）=0，
得x₁=1，x₂=-m-1．
∵x₁=1＜，不合題意，舍去．（4分）
∴拋物線y=x²+mx-m與AB邊只能相交于（x₂，1），
∴≤-m-1≤，
∴．①（5分）
又∵頂點P（）是直角梯形OABC的內部和其邊上的一個動點，
∴，即-7≤m≤0． ②（6分）
∵，
（或者拋物線y=x²+mx-m頂點的縱坐標最大值是1）
∴點P一定在線段AB的下方．（7分）
又∵點P在x軸的上方，
∴，m（m+4）≤0，
∴或者．（8分）
∴-4≤m≤0． （9分） ③（9分）
又∵點P在直線y=x的下方，
∴，（10分）
即m（3m+8）≥0．
或者，（*（8分）處評分后，此處不重復評分）
∴m≤-（11分），或m≥0 ④
由①，②，③，④，得-4≤m≤-．（12分）
說明：解答過程，全部不等式漏寫等號的扣（1分），個別漏寫的酌情處理．
點評：結合函數的圖象理解函數的解析式的特點，利用數形結合的方法可以比較容易理解．