Question

【題目】已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問題：

(1)如圖①所示，試說明OB∥AC；

(2)如圖②，若點E，F在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF.則∠EOC的度數等于________(在橫線上填上答案即可)；

(3)在(2)的條件下，若平行移動AC，如圖③，那么∠OCB∶∠OFB的值是否隨之發生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；

(4)在(3)的條件下，在平行移動AC的過程中，若使∠OEB＝∠OCA，此時∠OCA的度數等于________(在橫線上填上答案即可).

Answer 1

【答案】 見解析 40° (3) 1∶2.(4) 60°

【解析】試題分析：（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，則∠A+∠O=180°，根據平行線的判定即可得到OB∥AC；

（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=∠AOB=40°；

（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，則∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB，

（4）設∠AOC的度數為x，則∠OFB=2x，根據平行線的性質得∠OEB=∠AOE，則∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根據三角形內角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=80°-x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°-x，解得x=20°，所以∠OCA=80°-x=60°．

試題解析：（1）∵BC∥OA，

∴∠B＋∠O＝180°，

∵∠A＝∠B，

∴∠A＋∠O＝180°，

∴OB∥AC；

（2）∵∠A＝∠B＝100°，由(1)得∠BOA＝180°－∠B＝80°，

∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，

∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，

∴∠EOC＝∠EOF＋∠FOC＝ (∠BOF＋∠FOA)＝∠BOA＝40°，

故答案為：40°；

（3）∠OCB∶∠OFB的值不發生變化，理由如下：

∵BC∥OA，

∴∠OFB＝∠FOA，∠OCB＝∠AOC.

∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠FOC＝∠OCB，

∴∠OFB＝∠FOA＝∠FOC＋∠AOC＝2∠OCB，

∴∠OCB∶∠OFB＝1∶2；

（4）由(1)知OB∥AC，

∴∠OCA＝∠BOC，由(2)可設∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠AOC＝β，

∴∠OCA＝∠BOC＝2α＋β，∵BC∥OA，

∴∠OEB＝∠EOA＝α＋2β，

∵∠OEB＝∠OCA，

∴2α＋β＝α＋2β，

∴α＝β，

∵∠AOB＝80°，

∴α＝β＝20°，

∴∠OCA＝2α＋β＝40°＋20°＝60°.