Question

設a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n為大于0的自然數）．
（1）探究a_n是否為8的倍數，并用文字表述出你所獲得的結論；
（2）若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方數”．試寫出a₁，a₂，a₃，…，a_n，這一列數中從小到大排列的前4個“完全平方數”．

Answer 1

分析：（1）將a_n的表達式根據平方差公式計算出來，看是否是8的倍數．
（2）

an

=

8n

=2

2n

，根據該式依次列出所需的完全平方數即可．

解答：解：（1）根據平方差公式計算a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=8n，
故a_n是8的倍數．

（2）設a=2b（b為大于0的自然數）
則

an

=

8n

=2

2n

，所以當n分別取2、8、18、32時得到一列數中從小到大排列的前4個“完全平方數”．
n=2時，a_n=16，
n=8時，a_n=64，
n=18時，a_n=144，
n=32時，a_n=256，
所以列數中從小到大排列的前4個“完全平方數”為16、64、144、256．

點評：本題主要考查平方差公式的應用，讀懂題目信息是解題的關鍵．