Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關系式）；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

      解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根據勾股定理得：OB==4，即B（4，0），

把B與C坐標代入y=kx+n中，得：，

解得：k=﹣，n=3，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

由A（1，0），B（4，0），設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax²﹣5ax+4a，

把C（0，3）代入得：a=，

則拋物線解析式為y=x²﹣x+3；

（2）存在．

如圖所示，分兩種情況考慮：

∵拋物線解析式為y=x²﹣x+3，

∴其對稱軸x=﹣=﹣=．

當PC⊥CB時，△PBC為直角三角形，

∵直線BC的斜率為﹣，

∴直線PC斜率為，

∴直線PC解析式為y﹣3=x，即y=x+3，

與拋物線對稱軸方程聯立得，

解得：，

此時P（，）；

當P′B⊥BC時，△BCP′為直角三角形，

同理得到直線P′B的斜率為，

∴直線P′B方程為y=（x﹣4）=x﹣，

與拋物線對稱軸方程聯立得：，

解得：，

此時P′（，﹣2）．

綜上所示，P（，）或P′（，﹣2）．