Question

【題目】如圖一，菱形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，且DE⊥AB．

（1）求證：△ABD是等邊三角形；

（2）將圖一中△ADE繞點D逆時針旋轉，使得點A和點C重合，得到△CDF，連接BF，如圖二，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）利用線段垂直平分線的性質得出AD=BD，進而利用菱形的性質得出AD=AB，即可得出△ABD是等邊三角形；

（2）利用旋轉的性質以及平行線的性質得出∠FDB=90°，再結合勾股定理得出BF的長.

（1）證明：如圖一，

∵點E是AB的中點，且DE⊥AB，

∴AD=BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴AD=DB=AB，

∴△ABD是等邊三角形；

（2）解：如圖二，

由（1）得：△ABD是等邊三角形，則∠ADE=∠BDE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，

∵DE⊥AB，

∴∠EDC=90°，

∴∠BDF=∠FDC+∠CDB=∠EDB+∠CDB=90°，

∵△ADE繞點D逆時針旋轉，使得點A和點C重合，得到△CDF，

∴DF=ED=，BD=2，

∴BF=．

“點睛”此題主要考查了勾股定理以及旋轉的性質和等邊三角形的判定、菱形的性質等知識，熟練利用已知得出AD=BD是解題關鍵.