Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結BF交AC于點M，連結DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結論的個數是（ ）
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC，

∵FO=FC，

∴FB垂直平分OC，

故①正確；

②∵△BOC為等邊三角形，FO=FC，

∴BO⊥EF，BF⊥OC，

∴∠CMB=∠EOB=90°，

∴BO≠BM，

∴△EOB與△CMB不全等；

故②錯誤；

③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，

∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，

∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，

∴∠CDE=∠DFE，

∴DE=EF，

故③正確；

④易知△AOE≌△COF，

∴S△AOE=S△COF，

∵S△COF=2S△CMF，

∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM= ，

∵∠FCO=30°，

∴FM= ，BM= CM，

∴ = ，

∴S△AOE：S△BCM=2：3，

故④正確；

所以其中正確結論的個數為3個；

故選B

①利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論；②在△EOB和△CMB中，對應直角邊不相等，則兩三角形不全等；③可證明∠CDE=∠DFE；④可通過面積轉化進行解答．