Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，P為邊CD上一點，把△BCP沿直線BP折疊，頂點C折疊到C'，連接BC'與AD交于點E，連接CE與BP交于點Q，若CE⊥BE．

（1）求證：△ABE∽△DEC；

（2）當AD＝13時，AE＜DE，求CE的長；

（3）連接C'Q，直接寫出四邊形C'QCP的形狀：　 　．當CP＝4時，并求CEEQ的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）CE＝；（3）菱形，理由見解析

【解析】

（1）由題意可得∠AEB+∠CED=90°，且∠ECD+∠CED=90°，可得∠AEB=∠ECD，且∠A=∠D=90°，則可證△ABE∽△DEC；

（2）設AE=x，則DE=13-x，由相似三角形的性質可得，即：，可求x的值，即可得DE=9，根據勾股定理可求CE的長；

（3）由折疊的性質可得CP=C'P，CQ=C'Q，∠C'PQ=∠CPQ，∠BC'P=∠BCP=90°，由平行線的性質可得∠C'PQ=∠CQP=∠CPQ，即可得CQ=CP=C'Q=C'P，則四邊形C'QCP是菱形，通過證△C'EQ∽△EDC，可得，即可求CEEQ的值．

（1）∵CE⊥BE，

∴∠BEC＝90°，

∴∠AEB+∠CED＝90°，

又∵∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠AEB＝∠ECD，

又∵∠A＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DEC；

（2）設AE＝x，則DE＝13﹣x，

由（1）知：△ABE∽△DEC，

∴，即：，

∴x2﹣13x+36＝0，

∴x1＝4，x2＝9，

又∵AE＜DE，

∴AE＝4，DE＝9，

在Rt△CDE中，由勾股定理得：；

（3）∵折疊，

∴CP＝C'P，CQ＝C'Q，∠C'PQ＝∠CPQ，∠BC'P＝∠BCP＝90°，

∵CE⊥BC'，∠BC'P＝90°，

∴CE∥C'P，

∴∠C'PQ＝∠CQP，

∴∠CQP＝∠CPQ，

∴CQ＝CP，

∴CQ＝CP＝C'Q＝C'P，

∴四邊形C'QCP是菱形，

故答案為：菱形；

∵四邊形C'QCP是菱形，

∴C'Q∥CP，C'Q＝CP，∠EQC'＝∠ECD

又∵∠C'EQ＝∠D＝90°

∴△C'EQ∽△EDC

∴，

即：CEEQ＝DCC'Q＝6×4＝24.