Question

【題目】如圖，一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE．有下列四個結論：

①△CEF與△DEF的面積相等；

②△AOB∽△FOE；

③△DCE≌△CDF；

④AC=BD．

其中正確的結論是（　　）

A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】設D（x，），得出F（x，0），根據三角形的面積公式求出△DEF的面積，同法求出△CEF的面積，即可判斷①；根據面積相等，推出邊EF上的高相等，推出CD∥EF，即可證出△AOB∽△FOE，可判斷②；算出C、D點坐標，可得到DF=CE，再證出∠DCE=∠FDA=45°，根據全等三角形的判定判斷③即可；證出平行四邊形BDFE和平行四邊形ACEF，可推出BD=AC，判斷④即可．

解：①設D（x，），則F（x，0），

由圖象可知x＞0，

∴△DEF的面積是：×||×|x|=2，

設C（a，），則E（0，），

由圖象可知：＜0，a＞0，

△CEF的面積是：×|a|×||=2，

∴△CEF的面積=△DEF的面積，

故①正確；

②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，

故EF∥CD，

∴FE∥AB，

∴△AOB∽△FOE，

故②正確；

③∵C、D是一次函數y=x+3的圖象與反比例函數y=的圖象的交點，

∴x+3=，

解得：x=﹣4或1，

經檢驗：x=﹣4或1都是原分式方程的解，

∴D（1，4），C（﹣4，﹣1），

∴DF=4，CE=4，

∵一次函數y=x+3的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，

∴A（﹣3，0），B（0，3），

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵DF∥BO，AO∥CE，

∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°，

∴∠DCE=∠FDA=45°，

在△DCE和△CDF中，

DF=CE，∠FDC=∠ECD，DC=CD，，

∴△DCE≌△CDF（SAS），

故③正確；

④∵BD∥EF，DF∥BE，

∴四邊形BDFE是平行四邊形，

∴BD=EF，

同理EF=AC，

∴AC=BD，

故④正確；

正確的有4個．

故選C．

“點睛”本題考查了平行四邊形的性質和判定、三角形的面積、全等三角形的判定、相似三角形的判定，檢查同學們綜合運用定理進行推理的能力，關鍵是需要同學們牢固掌握課本知識.