Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，AB=8，BE=BC=10，動點P在線段BE上（與點B、E不重合），點Q在BC的延長線上，PE=CQ，PQ交EC于點F，PG∥BQ交EC于點G，設PE=x.

（1）求證：△PFG≌△QFC

（2）連結DG.當x為何值時，四邊形PGDE是菱形，請說明理由；

（3）作PH⊥EC于點H.探究：

①點P在運動過程中，線段HF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求HF的長度；

②當x為何值時，△PHF與△BAE相似

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當x=4時，四邊形PGDE是菱形，理由見解析；（3）①不變化，HF，②當或時，△PHF與△BAE相似

【解析】試題分析:(1)根據全等三角形的判定ASA即可證出;(2)先證出PG∥BQ，AD∥BC得到四邊形PGDE是平行四邊形，再根據四邊形PGDE是菱形得出PG=PE=4；（3）① 證出△PFG≌△QFC，求出HF的長；②分兩種情況討論得出.

試題解析:

(1)證明：∵BC=BE ∴∠BCE=∠PEC

∵PG∥BQ

∴∠BCE=∠PGE, ∠Q=∠FPG ，∠QCF=∠PGF

∴∠PGE=∠PEC

∴PE=PG

∵PE=CQ

∴ PG =CQ

∴△PFG≌△QFC （ASA）

（2）連結DG.當x=4時，四邊形PGDE是菱形，

理由如下；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC

AB=CD=8，AD=BC=BE=10

在Rt△ABE中

AE=

∴DE=AD-AE=10-6=4

由（1）知PG=PE=x=4

∴PG=DE

∵PG∥BQ，AD∥BC

∴PG∥DE

∴四邊形PGDE是平行四邊形，

∵PG=PE=4

∴四邊形PGDE是菱形

（3）①不變化

在Rt△ABE中

CE=

∵PG=PE，PH⊥EC

∴EH=HG=EG（等腰三角形“三線合一”）

∵△PFG≌△QFC

∴CF=GF=CG

∴HF=HG+FG=EG+CG=CE=

②∵PG∥DE, ∴∠DEC=∠PGH

在Rt△PGH中

PH=PG×sin∠PGH= x×sin∠DEC= x×= x×=

分兩種情況討論：

（I）若△PHF∽△EAB，則

∴

∴

∴當時，△PHF∽△BAE.

（II）若△PHF∽△BAE，則

∴

∴

∴當或時，△PHF與△BAE相似