Question

【題目】如圖，點M為拋物線與x軸的焦點為A（-3,0），B（1,0），與y軸交于點C，連結AM，AC，點D為線段AM上一動點（不與A重合），以CD為斜邊在CD上側作等腰Rt△DEC，連結AE，OE.

（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

（2）求解AD:OE的值；

（3）當△OEC為直角三角形時，求AD的值.

Answer 1

【答案】（1），M（-1，-4）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據點A、B的坐標代入，求出b、c的值即可求出拋物線的解析式，進而求出M的坐標，（2）通過解析式可求出C點坐標，可知AO=OC根據∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=可證明∠DCA=∠OCE，進而可知△DCA∽△ECO.

即可求出AD:OE的值（3）分類討論：當∠OEC=Rt∠時，由△DCA∽△ECO.可知∠ADC=∠OEC=Rt∠，由A、M、C三點坐標可求出三邊長度，可知∠MCA=∠ADC=Rt∠

由∠DAC=∠CAM，可證明△ADC∽△ACM，即可求出AD的長；當∠ECO=Rt∠時，同理得∠ACD=Rt∠點D和點M重合，

（1）把A（-3,0），B（1,0）代入，得

∴

∴

∴M（-1，-4）

（2）當x=0時，解得y=-3，

∴C（0，-3）

∵A（-3，0）

∴AO=OC=3，

∵∠AOC=

∴∠OCA=且AC=OC

∵△CDE為等腰直角三角形

∴∠DCE=且DC=EC

∴∠DCA+∠ACE=∠OCE+∠ACE=

∴∠DCA=∠OCE.

∴△DCA∽△ECO.

∴

∴AD:OE=

（3）①當∠OEC=Rt∠時，

∵△DCA∽△ECO，

∴∠ADC=∠OEC=Rt∠.

連接MC，∵A（-3,0），C（0,-3），M（-1,-4）

∴，，

∴，即∠MCA=∠ADC=Rt∠

∵∠DAC=∠CAM，

∴△ADC∽△ACM，

∴

∴

②當∠ECO=Rt∠時，同理得∠ACD=Rt∠

∴點D和點M重合，∴