Question

【題目】在直角坐標系中，、，將經過旋轉、平移變化后得到如圖1所示的.

（1）求經過、、三點的拋物線的解析式；

（2）連結，點是位于線段上方的拋物線上一動點，若直線將的面積分成兩部分，求此時點的坐標；

（3）現將、分別向下、向左以的速度同時平移，求出在此運動過程中與重疊部分面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先根據平移性質寫出C點坐標，設經過、、三點的拋物線解析式為，然后將A,B,C三點坐標代入解析式，求出a,b,c即可確定此拋物線解析式；（2）分兩種情況計算，設直線與交于點. ∵直線將的面積分成兩部分，∴或，過作于點，則∥.∴∽,∴.∴當時，，能求出EF,BF,的長度，再求出OF的長度，于是E點坐標確定，直線EC的解析式也就知道了，因為P點在直線EC上，又在拋物線上，列兩解析式相等，即可求出P點橫坐標，代入兩個中任何一個解析式就可求出P點縱坐標.當時，同樣有，于是有，同樣求出EF,BF,的長度，再求出OF的長度，確定E點坐標及直線EC的解析式，列兩解析式相等，進而求出P點坐標；（3）設向下平移的距離為，則△CBD向左平移的距離為2t，與重疊部分的面積為.當C點向左平移到A1B1邊上時，兩三角形重疊部分由四邊形變為直角三角形，算出t=，即當時，與重疊部分為四邊形.設與軸交于點，與軸交于點，與交于點，連結.由已知求出的解析式，的解析式，與軸交點坐標，與軸交點坐標，兩個解析式聯立求出Q點坐標，建立重疊部分S與t的二次函數并算出最大值.平移過程中當D點與交于x軸同一點時，這時重疊部分為0，算出t=，即當時，與重疊部分為直角三角形.設與軸交于點， 與交于點.則，利用三角形相似或平移的距離表示出重疊部分三角形的底和高，建立S與t的二次函數，算出最大值，兩種情況進行比較，得出結論.

試題解析：（1）由題意可知、，將經過旋轉、平移變化得到如圖所示的，

∴.∴.設經過、、三點的拋物線解析式為，則有，解得：. ∴經過、、三點的拋物線的解析式為；（2）如圖4.1所示，設直線與交于點. ∵直線將的面積分成兩部分，∴或，過作于點，則∥.∴∽,∴.∴當時，有，∴，∴.設直線解析式為，將E,C兩點坐標代入，則可求得其解析式為，∴，解得（舍去），∴；當時，同樣有∽,∴.即，解得EF= ,BF= ,OF=，所以E(-,),設直線解析式為，將E,C兩點坐標代入，則可求得其解析式為，于是有，整理得：，解得（舍去），將代入直線EC解析式求出y=,所以.綜上所述點P的坐標為，；

（3）設向下平移的距離為，則△CBD向左平移的距離為2t，與重疊部分的面積為.可由已知求出的解析式為，與軸交點坐標為. 的解析式為，與軸交點坐標為. ①當C點向左平移到A1B1邊上時，兩三角形重疊部分由四邊形變為直角三角形，由平行相似可得關系式：，解得t=,即當時，與重疊部分為四邊形.如圖4.2所示，設與軸交于點，與軸交于點，與交于點，連結.由，得，解得.∴.即當t=時的最大值為.②平移過程中當D點與交于x軸同一點時，這時重疊部分面積為0，由DO∥可得關系式：,解得t=如圖所示，即當時，與重疊部分為直角三角形. 設與軸交于點， 與交于點.G點橫坐標為1-2t,設G點縱坐標為x，則，解得x=4-5t,于是G點坐標為，則，.∴.即當t=時，S最大值是，∴當時，的最大值為.因為<,所以在此運動過程中與重疊部分面積的最大值為.