Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAD的平分線AE交BC于E，G是AD的中點，連接DE．
（1）猜想四邊形ABED的形狀，并說明理由；
（2）當AB與EC滿足怎樣的數量關系時，EG∥CD？并說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形ABED是菱形，
理由是：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
同理BE=AB，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABED是菱形．

（2）當AB=2EC時，EG∥CD，
理由是：∵AB=AD=2DG，
AB=2EC，
∴GD=CE，
∵AD∥BC，
∴四邊形GDCE是平行四邊形，
∴EG∥CD，
即當AB=2EC時，EG∥CD．
分析：（1）根據平行線性質和角平分線定義求出∠ABD=∠ADB，推出AD=AB，同理得出BE=AB，推出AD=BE即可；
（2）AB=2EC，根據菱形和已知得出AB=2GD，推出GD=EC，DG∥EC，得出平行四邊形DGEC即可．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，梯形，平行線性質，等腰三角形的 性質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較好，難度也適中．