Question

如圖1，小明將一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2）量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°再將這兩張三角形紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖3至圖6中統一用F表示）．

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫忙解決．
（1）將圖3中的△ABC沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；
（2）將圖3中的△ABC繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，A₁F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；
（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB₁交DE于點H，請證明：AH=DH．

Answer 1

分析：先根據含30°的直角三角形三邊的關系得到FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=

3

EF=5

3

．
（1）根據平移的性質得到FC₁=BF，從而得到平移的距離；
（2）根據旋轉的性質得∠AFA₁=30°，則∠A₁FD=60°，得到FG⊥CD，再根據含30°的直角三角形三邊的關系得到EG=

1

2

EF，則可得到DG，從而求出k的值；
（3）根據折疊的性質得到B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，則DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，易證△DB₁H≌△AEH，即可得到結論．

解答：解：∵AB=DE=10，∠A=∠D=30°，
∴FB=FE=5，∠B=∠FED=60°，FD=

3

EF=5

3

．

（1）如圖4，FC₁=BF=5，
所以△ABC沿BD向右平移的距離為5；

（2）∵△ABC繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，
∴∠AFA₁=30°，
∴∠A₁FD=60°，
而∠D=30°，
∴FG⊥CD，
∴EG=

1

2

EF=

5

2

，
∴DG=10-

5

2

=

15

2

，
∴DG=3EG，
∴k的值為3；

（3）∵△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，
∴B₁F=BF=EF，∠AB₁F=∠B=60°，
∴DB₁=AE，∠DB₁H=∠AEH=120°，
而∠DHB₁=∠AHE，
在△DB₁H與△AEH中，
∵∠DB₁H=∠AEH，DB₁=AE，∠DHB₁=∠AHE，
∴△DB₁H≌△AEH，
∴AH=DH．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了平移和旋轉的性質以及含30°的直角三角形三邊的關系．