Question

【題目】把兩個直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE=5cm, CD=10cm．

(1)圖1中線段AO的長= cm；DO=cm

(2)如圖2,把△DCE繞著點C逆時針旋轉α度（0°＜α＜90°）得△D1CE1,D1C與AB相交于點F,若△BCE1恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）AO=cm；DO=cm； （2）.

【解析】

試題（1）作,利用三角形相似來求出線段AO ,DO的長；

（2）連接BE1,過點E1作E1G⊥BC于G, 過點F作FH⊥BC于H,根據三角形相似求出BF,即可得到答案.

試題解析：(1)如圖,過點A作,

∵∠ACB與∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=,

∴AC=BC=6,

∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10．

∴ED=, BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,

∵

∴△AFC∽△DEC

∴,即AF=,

∴,即EF=2,

∴BF=EF+BE=2+1=3,

∵

∴△BOE∽△BAF

∴,即AO=

,即OE=

∴DO=DE-OE=

(2) 連接BE1,過點E1作E1G⊥BC于G, 過點F作FH⊥BC于H,

∵△DCE繞著點C 逆時針旋轉α度

∴∠E1CG=α,

∵△BCE1恰好是以BC為底邊的等腰三角形,

∴E1G是線段BC的中垂線

∵E1C=5,BC=6

∴CG=BH=3,,

∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,

∴BH=FH,令BH=FH=x,

則：CH=6-x

在△FHC與△CG E1中

∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,

∴∠E1CG =∠CFH,

∵∠FHC=∠CG E1=90°,

∴△FHC∽△CG E1,

∴,即：,解得,

∴FH=,

∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,

∴

∴.