Question

關于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實數根，且c為正整數．
（1）求c的值；
（2）若此方程的兩根均為整數，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-4x+c與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．點P為對稱軸上一點，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長；
（3）將（2）中得到的拋物線沿水平方向平移，設頂點D的坐標為（m，n），當拋物線與（2）中的直角梯形OBPC只有兩個交點，且一個交點在PC邊上時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實數根，
∴△=16-4c≥0，∴c≤4．
又∵c為正整數，∴c=1，2，3，4．

（2）∵方程兩根均為整數，∴c=3，4；
又∵拋物線與x軸交于A、B兩點，∴c=3；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
∴拋物線的對稱軸為x=2．
∵四邊形OBPC為直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC∥BO，∵P點在對稱軸上，∴PC=2．

（3）由（2）知：y=x²-4x+3=（x-2）²-1；
①當拋物線向左平移時，設平移后的拋物線解析式為：y=（x-2+k）²-1；
易知P（2，3），當拋物線對稱軸右側的函數圖象經過點P時，則有：
（2-2+k）²-1=3，
解得k=2（負值舍去）；
即y=x²-1，此時m=0；
當拋物線對稱軸右側的函數圖象經過點O時，則有：
（0-2+k）²-1=0，
解得k=1（舍去），k=3；
即y=（x-1）²-1，此時m=-1；
故當拋物線向作平移時，-2＜m≤0（或-1≤m≤0）．
②當拋物線向右平移時，同①可求得2＜m≤4；
綜上所述，-2＜m≤0或2＜m≤4．（寫對一個給1分）
分析：（1）若關于x的一元二次方程有實數根，那么根的判別式必大于等于0，可據此求出c的取值范圍，由于c為正整數，即可求出符合條件的c值．
（2）首先根據方程有兩個整數根以及拋物線與x軸有兩個不同的交點，確定c的值，從而得到拋物線的解析式和對稱軸方程；由于四邊形OBPC是直角梯形，且CP∥OB，P在拋物線的對稱軸上，那么PC的長正好與拋物線對稱軸的值相同，由此得解．
（3）首先將（2）所得拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到此時頂點D的坐標；
①拋物線向左平移，可先設出平移后拋物線的解析式；當點P位于拋物線對稱軸右側的函數圖象上時，可將點P坐標代入拋物線的解析式中，即可求得平移的距離；當點O位于拋物線對稱軸右側的函數圖象上時，將點O的坐標代入拋物線的解析式中，同樣能求出此時平移的距離；根據上面兩種情況所得的m值，即可得到m的取值范圍．
②拋物線向右平移，方法同①．
點評：此題考查了根的判別式、直角梯形的性質、二次函數解析式的確定以及函數圖象的平移等知識．在（3）題中，拋物線向左或向右平移都有符合條件的m值，因此需要分類討論，以免漏解．