Question

【題目】在一次數學興趣小組活動中，小明利用同弧所對的圓周角及圓心角的性質探索了一些問題，下面請你和小明一起進入探索之旅．

問題情境：

（）如圖， 中， ， ，則的外接圓的半徑為__________．

操作實踐：

（）如圖，在矩形中，請利用以上操作所獲得的經驗，在矩形內部用直尺與圓規作出一點．點滿足： ，且．

（要求：用直尺與圓規作出點，保留作圖痕跡．）

遷移應用：

（）如圖，在平面直角坐標系的第一象限內有一點，坐標為．過點作軸， 軸，垂足分別為、，若點在線段上滑動（點可以與點、重合），發現使得的位置有兩個，則的取值范圍為__________．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）作圖見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接OB、OC，只要證明△OBC是等邊三角形即可．

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，則點P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．當EK=KC=時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，當BK=時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時m=BC=2，由此不難得出結論．

試題解析：解：（1）如圖1中，連接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，故答案為：2．

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O；

以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，則點P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，∴OK=KC=，當EK=KC=時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，當BK=時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時m=BC=2．

綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+．

故答案為：2≤m＜1+．