Question

． 如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（－2，），且P（，－2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；

（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

 

                                                        

Answer 1

（1）設正比例函數解析式為，將點M（，）坐標代入得，所以正比例函數解析式為

同樣可得，反比例函數解析式為 

（2）當點Q在直線DO上運動時，

設點Q的坐標為，

于是，

而，

所以有，，解得 

所以點Q的坐標為和

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而點P（，）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．

因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為，

由勾股定理可得，

所以當即時，有最小值4，

又因為OQ為正值，所以OQ與同時取得最小值，

所以OQ有最小值2．

由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是

．