Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點M，N分別在AB，AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則sin∠MCN=（ ）
A.
B.
C.
D. ﹣2

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4，
連接MN，連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC= AC，
∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ，
3BC2=AB2 ，
∴BC=2 ，
在Rt△BMC中，CM= =2 ，
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等邊三角形，
∴MN=AM=AN=2，
過M點作ME⊥CN于E，設NE=x，則CE=2 ﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 ）2﹣（2 ﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴EC=2 ﹣ = ，
由勾股定理得：ME= = = ，
∴sin∠MCN= = = ，
故選B．

【考點精析】掌握相似三角形的判定與性質和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．