Question

5．如圖，線段AB與CD相交于點E，AB⊥BD，垂足為B，AC⊥CD，垂足為C．
（1）如圖1，若AB=CD，∠BDE=30°，試探究線段DE與CE的數量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，試探究線段DE與AC的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠B=∠C=90°，根據直角三角形的性質得到DE=2BE，根據三角形的內角和得到∠A=∠D=30°，得到AE=2CE，由AB=CD，等量代換即可得到結論；
（2）連接AD，延長AC、BD交于F，根據已知條件得到∠CAE=∠BDE=22.5°，根據等腰直角三角形的性質得到∠ADB=45°，求得∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°，推出△ACD≌△FCD，即可根據全等三角形的性質得到AC=CF，AF=DE，等量代換即可得到結論．

解答 解：（1）DE=2CE，
理由：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠BDE=30°，
∴DE=2BE，
∵∠AEC=∠BED，
∴∠A=∠D=30°，
∴AE=2CE，
∵AB=CD，
∴AE+BE=CE+DE，
∴2CE+$\frac{1}{2}$DE=CE=DE，
即DE=2CE；

（2）DE=2AC，
理由：連接AD，延長AC、BD交于F，
∵∠ACE=∠DBE=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠BDE=22.5°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°，
在△ACD與△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠FCD=90°}\\{CD=CD}\\{∠ADC=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FCD，
∴AC=CF，
在△ABF與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ABD}\\{AB=BD}\\{∠BAF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DBE，
∴AF=DE，
∵AF=2AC，
∴DE=2AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．