Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖所示）．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點A，D₁，D₂，B始終在同一直線上），當點D₁于點B重合時，停止平移．在平移過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁D₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D₁E與D₂F的數量關系，并證明你的猜想；
（2）設平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值使得y=S_△ABC；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD₁=BD₂就可以證明AD₂=BD₁，根據等角對等邊證明AD₂=D₂F，D₁E=D₁B即可．
（2）由于△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分為不規則圖形，所以將其面積轉化為S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P，再求各三角形的面積即可．
（3）先假設存在x的值使得y=S_△ABC，再求出△ABC的面積，然后根據（2）所求y=-x²+x（0≤x≤5）建立等量關系，解出x的值，即可證明存在x的值．
解答：解：（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．
設△BED₁的BD₁邊上的高為h，
由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，
∴．
∴h=．S_△BED1=×BD₁×h=（5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=，cosB=．
∴PC₂=x，PF=x，S_△FC2P=PC₂×PF=x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=S_△ABC-（5-x）²-x²
∴y=-x²+x（0≤x≤5）．

（3）存在．
當y=S_△ABC時，即-x²+x=6，
整理得3x²-20x+25=0．
解得，x₁=，x₂=5．
即當x=或x=5時，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．
點評：本題綜合性強，考查圖形的平移、二次函數解析式的確定以及綜合問題、分析問題、解決問題的能力，考查較全面．同時本題是一道操作性問題，而且是動態問題，第1小題不難解決，第2小題的一大難點是如何求陰影部分的面積，要注意領會這種整體補形法．