Question

已知：在△AOB與△COD中，OA＝OB，OC＝OD，．
（1）如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM，則線段AD與OM之間的數量關系是                         ，位置關系是                    ；

（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點逆時針旋轉，旋轉角為 ()．連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM．請你判斷（1）中的兩個結論是否仍然成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將圖1中的 △COD繞點 O逆時針旋轉到使 △COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點M為線段BC的中點．

請你判斷（1）中線段AD與OM之間的數量關系是否發生變化，寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

（1）AD=2OM，；（2）成立；（3）沒有

試題分析：（1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半再結合全等三角形的性質求解即可；
（2） 延長BO到F，使FO=BO，連結CF，由題意可得MO為的中位線，根據三角形的中位線的性質可得FC=2OM，證得△AOD≌△FOC，可得FC=AD，=，再結合+=90°，即可得到+=90°，從而可以證得結論；
（3）延長DC交AB于E，連結ME，過點E作于N，由OA＝OB，OC＝OD，，可得，即得AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°，則有DN=AN，即得AD＝2NE，再根據M為BC的中點可得，即可得到四邊形ONEM是矩形，從而可以證得結論.
（1）線段AD與OM之間的數量關系是AD=2OM，位置關系是；
（2）（1）的兩個結論仍然成立.
如圖2，延長BO到F，使FO=BO，連結CF.

∵M為BC中點，O為BF中點，
∴MO為的中位線.
∴FC=2OM
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠FOC .
∵AO=FO，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC.
∴FC="AD."
∴AD=2OM
∵MO為的中位線，
∴MO∥CF .
∴∠MOB=∠F.
又∵≌，
∴=.
∵+=90°
∴+=90°
即；
（3）（1）中線段AD與OM之間的數量關系沒有發生變化.
延長DC交AB于E，連結ME，過點E作于N.

∵OA＝OB，OC＝OD，，
∴.
∴AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°.
∴DN="AN."
∴AD＝2NE.
∵M為BC的中點，
∴.
∴四邊形ONEM是矩形.
∴NE＝OM.
∴AD＝2OM.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.