Question

如圖，在⊙M中，弦AB所對的圓心角∠AMB=120°．已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線解析式．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質可知∠AMO=

1

2

∠AMB=60°，由直角三角形的性質可求出M點的坐標．
（2）根據△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點的坐標，因為A、B兩點關于y軸對稱，故此拋物線關于y軸對稱，根據此特點可設出拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入即可求出未知數的值，從而求出其解析式．

解答：解：（1）∵MA=MB，OM⊥AB，∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1，OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1），B（

3

，O）．
∵經過A，B，C三點的拋物線關于y軸對稱，
∴設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c（a≠0）．
把C（0，-1）和B（

3

，O）分別代入上式，得

-1=c 0=3a+c

，
解得

a= 1 3 c=-1

，
∴經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=

1

3

x²-1．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了圓的性質、二次函數圖象上點的坐標特點以及待定系數法求二次函數的解析式，比較復雜，但難度適中．