Question

【題目】學農期間我們完成了每日一題，進一步研究了角的平分線. 工人師傅常用角尺平分一個任意角. 作法如下：

如圖，∠AOB 是一個任意角，在邊 OA、OB 上分別取 OM=ON， 移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與 M、N 重合. 過角尺頂點 C 的射線 OC 便是∠AOB 的平分線. 我們發現利用 SSS 證明兩個三角形全等，從而證明∠AOC=∠BOC.

學習了軸對稱的知識后，我們知道角是軸對稱圖形，角平分線 所在直線就是它的對稱軸，愛動腦筋的小慧同學利用軸對稱圖形的性質發現了一種畫角平分線的方法.

方法如下：如圖 1，將兩個全等的三角形紙片△DEF 和△MNL 的一組對應邊分別與∠AOB 的一邊共線，同時這條邊所對頂點落在∠AOB 的另一條邊上，則△DEF 和△MNL 的另一組對應邊的交點 P 在∠AOB 的平分線上.

（1）小慧的做法正確嗎？說明理由：

小旭說：利用軸對稱的性質，我只用刻度尺就可以畫角平分線.（提示：刻度尺可以度量出相等的線段）

（2）請你和小旭一樣，只用刻度尺畫出圖 2 中∠QRS 的角平分線.（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）正確，證明見解析（2）圖見解析.

【解析】

（1）說法正確，可通過用AAS證明三角形OED與三角形OME全等得到ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠ONM，再根據DO-ON=OM-OE，得到DN=ME，再根據AAS證明三角形NKD與三角形EKM全等，得到NK=EK,再根據SAS證明三角形ONK與三角形OEK全等，從而得到對應角∠NOK=∠EOK，即可證明角平分線.

（2）根據（1）可知，作三角形RAD與三角形RBC全等，過R點作與BC與AD的交點的射線即為角平分線.

（1）正確.理由如下

∵

∴∠DEF=∠MNL，DE=NM

∴180°-∠DEF=180°-∠MNL

即∠OED=∠ONM

在三角形OED與三角形ONM中

∴(AAS)

∴ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠OMN

∴DO-ON=OM-OE

即DN=ME

在三角形NKD與三角形EKM中

∴ (AAS)

∴NK=EK

在三角形ONK與三角形OEK中

∴(SAS)

∴∠NOK=∠EOK

即OK為∠LOF 的角平分線.

（2）

如圖量RA=RA，RQ=RC，連接AD=BC.

則在三角形RAD與三角形RBC中

∴（SAS）

∴∠RDA=∠RCB

在三角形BDK與三角形ACK中

∴（AAS）

∴BK=AK

在三角形RBK與三角形RAK中

∴(SSS)

∴∠BRK=∠ARK

故RK為角平分線.