Question

【題目】A、B是數軸上兩點,點A對應的數是-2，點B對應的數是2. △ABC是等邊三角形，D是AB中點. 點M在AC邊上，且AM=3CM.

（1）求CD長.

（2）點P是CD上的動點，確定點P使得PM+PA的值最小，并求出PM+PA的最小值.

（3）過點M的直線與數軸交于點Q，且QM.點Q對應的數是t,結合圖形直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）；（3） 或

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質及勾股定理進行計算即可；

（2）根據軸對稱確定點P，然后取AC的中點為E，連接BE，再利用等邊三角形的性質，線段之間的關系及勾股定理進行計算即可；

（3）畫出圖形，先確定QM=時，點Q對應的數，最后再根據得到的數寫出范圍.

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，D是AB中點，

∴CD⊥AB，AD=DB，

∵點A、點B對應的數分別是－2和2，

∴AB=4，

∴AC=4，AD=2，

∴在Rt△ACD中，CD=；

（2）連接MB，MB與CD的交點即為所求的P點.

設AC的中點為E，連結BE，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BE⊥AC，CE=2，

∵AM=3CM，

∴CM=1，AM=3，

∴EM=1，

由三角形面積相等，底相等可得：BE=CD=，

∴在Rt△BEM中，BM=，

即PM+PA的最小值為；

（3）如圖，QM=，過點M作ME⊥AB于點E，

∵CD⊥AB，

∴ME∥CD，

∴△AEM∽△ADC，

∴，

又∵AD=2，CD=，

∴AE=，ME=，

∴DE=，

∵點Q對應的數是t，

∴QE=，

∴在Rt△MEQ中，，

解得t=4或－5，

∵QM，

∴或.