Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標分別為B（3，0）．C（0，3），點M是拋物線的頂點．

（1）求二次函數的關系式；
（2）點P為線段MB上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D．若OD=m，△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？并說明理由；
（3）在MB上是否存在點P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：S有最大值．理由如下：

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4），

設直線BM的解析式為y=kx+n，

把B（3，0），M（1，4）代入得 ，解得 ，

∴直線BM的解析式為y=﹣2x+6，

∵OD=m，

∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），

∴S= m（﹣2m+6）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵1≤m＜3，

∴當m= 時，S有最大值，最大值為 ；

（3）

解：存在．

∠PDC不可能為90°；

當∠DPC=90°時，則PD=OC=3，即﹣2m+6=3，解得m= ，此時P點坐標為（ ，3），

當∠PCD=90°時，則PC2+CD2=PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2，

整理得m2+6m﹣9=0，解得m1=﹣3﹣3 （舍去），m2=﹣3+3 ，

當m=﹣3+3 時，y=﹣2m+6=6﹣6 +6=12﹣6 ，此時P點坐標為（﹣3+3 ，12﹣6 ），

綜上所述，當P點坐標為（ ，3）或（﹣3+3 ，12﹣6 ）時，△PCD為直角三角形．

【解析】（1）把B點和C點坐標代入y=﹣x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；（2）把（1）中的一般式配成頂點式可得到M（1，4），設直線BM的解析式為y=kx+n，再利用待定系數法求出直線BM的解析式，則P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），于是根據三角形面積公式得到S=﹣m2+3m，然后根據二次函數的性質解決問題；（3）討論：∠PDC不可能為90°；當∠DPC=90°時，易得﹣2m+6=3，解方程求出m即可得到此時P點坐標；當∠PCD=90°時，利用勾股定理得到和兩點間的距離公式得到m2+（﹣2m+3）2+32+m2=（﹣2m+6）2 ，
然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時P點坐標．