Question

已知：在如圖1所示的銳角三角形ABC中，CH⊥AB于點H，點B關于直線CH的對稱點為D，AC邊上一點E滿足∠EDA=∠A，直線DE交直線CH于點F．
（1）求證：BF∥AC；
（2）若AC邊的中點為M，求證：DF=2EM；
（3）當AB=BC時（如圖2），在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與BE相等的線段，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據點B與點D關于關于直線CH的對稱，可得BF=DF，根據等邊對等角可得∠1=∠2，再證明∠A=∠2，再根據內錯角相等，兩直線平行可證出AC∥FB；
（2）首先取FD的中點N，連接HM、HN，再證明四邊形ENHM是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得HN=EM，在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中點為N，根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得NH=

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DF，再利用等量代換可得DF=2EM；
（3）當AB=BC時，在未添加輔助線和其它字母的條件下，原題圖2中所有與BE相等的線段是EF和CE．連接CD，證明△ABE≌△DCE可得BE=CE；由BF=DF得∠CFE=∠BFC．由所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF，進而得到∠CFE=∠ECF，可得EF=CE，即可得到BE=EF=CE．

解答：證明：（1）如圖1．
∵點B關于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，直線DE交直線CH于點F，
∴BF=DF，DH=BH．
∴∠1=∠2．
又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴∠A=∠2．
∴BF∥AC；

（2）如圖2，取FD的中點N，連接HM、HN．
∵H是BD的中點，N是FD的中點，
∴HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴HN∥AC，即HN∥EM．
∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC邊的中點為M，
∴HM=

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AC=AM，
∴∠A=∠3，
∴∠EDA=∠3，
∴NE∥HM，
∴四邊形ENHM是平行四邊形，
∴HN=EM，
∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中點為N，
∴HN=

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DF，即DF=2HN，
∴DF=2EM；

（3）當AB=BC時，在未添加輔助線和其它字母的條件下，原題圖2中所有與BE相等的線段是EF和CE． 
證明：連接CD．（如圖3）
∵點B關于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，
∴BC=CD，∠ABC=∠5．
∵AB=BC，
∴∠ABC=180°-2∠A，
 AB=CD．①
∵∠EDA=∠A，
∴∠6=180°-2∠A，AE=DE．②
∴∠ABC=∠6=∠5．
∵∠BDE是△ADE的外角，
∴∠BDE=∠A+∠6．
∵∠BDE=∠4+∠5，
∴∠A=∠4．③
由①，②，③得△ABE≌△DCE．
∴BE=CE． 
由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF．
∴∠CFE=∠ECF．
∴EF=CE．
∴BE=EF．
∴BE=EF=CE．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法以及平行四邊形的性質定理．