Question

（2013•成都一模）若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對角線所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為

4

3

或

4 3

3

（結果保留根號的形式）．

Answer 1

分析：根據題意作圖，題中指出兩條對角線所夾銳角為60°而沒有指明是哪個角，所以做題時要分兩種情況進行分析，從而得到最后答案．

解答：解：已知梯形的上下底的和是4，設AB+CD=4，
對角線AC與BD交于點O，經過點C作對角線BD的平行線CE交AB的延長線于點E．
①當∠DOC=60度時，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

因而面積是

1

2

×4×2

3

=4

3

②當∠BOC=60度時，∠AOB=180°-60°=120°，
又∵BD∥CE，
∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA=

180°-120°

2

=30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=

2 3

3

，
則△ACE的面積=

1

2

×4×

2 3

3

=

4 3

3

，而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4

3

或

4 3

3

．
故答案為：4

3

或

4 3

3

．

點評：此題考查等腰梯形的性質及梯形中常見的輔助線的作法，通過這條輔助線可以把兩對角線的夾角的問題轉化為三角形的角的問題．