Question

【題目】已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為（﹣ ，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．

（1）求OC的長和∠CAO的度數；
（2）求過D點的反比例函數的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠AOC=90°，

∴AC是⊙B的直徑．

∴AC=2．

又∵點A的坐標為（﹣ ，0），

∴OA= ．

∴ ．

∴sin∠CAO= ．

∴∠CAO=30°

（2）

解：如圖，連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E，

∵OD為⊙B的切線，

∴OB⊥OD．

∴∠BOD=90°．

∵AB=OB，

∴∠AOB=∠OAB=30°．

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．

在△AOD中，∠ODA=180°﹣120°﹣30°=30°=∠OAD．

∴OD=OA= ．

在Rt△DOE中，∠DOE=180°﹣120°=60°，

∴OE=ODcos60°= OD= ，ED=ODsin60°= ．

∴點D的坐標為 ．

設過D點的反比例函數的表達式為 ，

∴ ．

∴ ．

【解析】（1）在直角三角形ACO中，根據已知條件可以求得OA，AC的長，再根據勾股定理求得OC的長，根據銳角三角函數的概念求得∠CAO的度數；（2）要求反比例函數的表達式，需要求得點D的坐標．作DE⊥x軸于點E，根據對頂角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的長，根據三角形的外角的性質可以求得∠ADO=30°．則OD=OA．從而求得OE，DE的長，再根據點D的坐標求得反比例函數的表達式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．