Question

【題目】在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，點D為線段AB的中點，動點P以2cm/s的速度從B點出發在射線BC上運動，同時點Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度從C點出發在線段CA上運動，設運動時間為x秒．

（1）若AB=AC，P在線段BC上，求當a為何值時，能夠使△BPD和△CQP全等？

（2）若∠B=60°，求出發幾秒后，△BDP為直角三角形？

（3）若∠C=70°，當∠CPQ的度數為多少時，△CPQ為等腰三角形？（請直接寫出答案，不必寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）cm/s；（2）當P出發2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；（3）當△CPQ為等腰三角形時，∠CPQ的度數為35°，40°，55°，70°．

【解析】

試題分析：（1）根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；

（2）分兩種情況；①當∠BPD=90°時，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②當∠BDP=90°時，根據三角形的內角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到當P出發2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；

（3）分點P在邊BC上或點P在邊BC的延長線上，△CPQ為等腰三角形，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論．

解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AB=20cm，D是AB的中點，

∴BD=10cm，

∵點Q的速度與點P的速度不同，

∴BP≠CQ，

要使△BPD和△CQP全等，

則BP=CP=8cm CQ=BD=10cm，

∴x=秒，

∴a==cm/s；

（2）①當∠BPD=90°時，

∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，

∴2BP=BD=10，

∴BP=5，

即2x=5，

∴x=2.5；

②當∠BDP=90°時，

∵∠B=60°，

∴∠BPD=30°，

∴BP=2BD=20，

即2x=20，

∴x=10；

∴當P出發2.5秒或10秒后，△BPD為直角三角形；

（3）點P在邊BC上，△CPQ為等腰三角形，

①當PQ=CQ，∵∠C=70°，

∴∠CPQ=∠C=70°，

②當PQ=PC，∵∠C=70°，

∴∠PQC=∠C=70°，

∴∠CPQ=180°﹣2×70°=40°，

③當PC=CQ，∵∠C=70°，

∴∠CPQ=∠CQP==55°，

點P在邊BC的延長線上，△CPQ為等腰三角形，

∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，

∵PC=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP==35°，

綜上所述：當△CPQ為等腰三角形時，∠CPQ的度數為35°，40°，55°，70°．