Question

（2008•西寧）如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點，OM為⊙O₁的切線，切點為M，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求切線OM的函數解析式；
（3）線段OM上存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似．請問有幾個符合條件的點P并分別求出它們的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓心的坐標和半徑的長即可求出A，B兩點的坐標，然后將A，B的坐標代入拋物線中即可得出二次函數的解析式．
（2）可先在直角三角形OO₁M中求出∠MO₁O的度數，然后過M作x軸的垂線，設垂足為F，可在直角三角形MO₁F中根據∠MO₁O的度數和MO₁的長求出MF和O₁F的長，即可得出M點的坐標，進而可根據M的坐標求出直線OM的解析式．
（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO₁，因此本題可分兩種情況進行討論：
①當AP∥O₁M時，②當PA⊥OB時．據此可求出P點的坐標．（①可參照求M點坐標時的方法來解，②可直接將A點橫坐標代入直線OM的解析式中，即可求出P的坐標）．
解答：解：（1）∵圓心的坐標為O₁（2，0），⊙O₁半徑為1，
∴A（1，0），B（3，0），
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A，B，
∴可得方程組，
解得：，
∴二次函數解析式為y=-x²+4x-3．

（2）過點M作MF⊥X軸，垂足為F．
∵OM是⊙O₁的切線，M為切點，
∴O₁M⊥OM（圓的切線垂直于經過切點的半徑）．
在RT△OO₁M中，sin∠O₁OM==，
∵∠O₁OM為銳角，
∴∠O₁OM=30°，
∴OM=OO₁•cos30°=，
在RT△MOF中，OF=OM•cos30°=．
MF=OMsin30°=．
∴點M坐標為（），
設切線OM的函數解析式為y=kx（k≠0），由題意可知=k，
∴k=，
∴切線OM的函數解析式為y=x

（3）兩個，
①過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁，
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O（兩角對應相等兩三角形相似），
P₁A=OA•tan∠AOP₁=，
∴P₁（1，）；
②過點A作AP₂⊥OM，垂足為，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
可得Rt△OP₂A∽Rt△O₁MO（兩角對應相等兩三角形相似），
在Rt△OP₂A中，
∵OA=1，
∴P₂=OA•cos30°=，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂•cos∠AOP₂=，
P₂H=OP₂•sin∠AOP₂=，P₂（，），
∴符合條件的P點坐標有（1，），（，）．
點評：本題主要考查了切線的性質，一次函數和二次函數解析式的確定，相似三角形的判定和性質等知識點．
考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．