Question

【題目】在□ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連接EG、GF、FH、HE．

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是 ；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是 ；

（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EGFH是平行四邊形；（2）菱形；（3）菱形；（4）四邊形EGFH是正方形．

【解析】

試題分析：（1）由于平行四邊形對角線的交點是它的對稱中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質；

（2）當EF⊥GH時，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；

（3）當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；

（4）當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據對角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．

試題解析：（1）四邊形EGFH是平行四邊形；

證明：∵ABCD的對角線AC、BD交于點O

∴點O是ABCD的對稱中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）∵四邊形EGFH是平行四邊形，EF⊥GH，

∴四邊形EGFH是菱形；

（3）菱形；

由（2）知四邊形EGFH是菱形，

當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響；

（4）四邊形EGFH是正方形；

證明：∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由（3）知四邊形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四邊形EGFH是正方形．