Question

【題目】如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點的坐標為（1，3）．矩形O′A′BC′是矩形OABC繞B點逆時針旋轉得到的．O′點恰好在x軸的正半軸上，O′C′交AB于點D．

（1）求點O′的坐標，并判斷△O′DB的形狀（要說明理由）
（2）求邊C′O′所在直線的解析式．
（3）延長BA到M使AM=1，在（2）中求得的直線上是否存在點P，使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，連接OB，O′B，則OB=O′B，

∵四邊形OABC是矩形，

∴BA⊥OA，

∴AO=AO′，

∵B點的坐標為（1，3），

∴OA=1，

∴AO′=1，

∴點O′的坐標是（2，0），

△O′DB為等腰三角形，

理由如下：在△BC′D與△O′AD中，

，

∴△BC′D≌△O′AD（AAS），

∴BD=O′D，

∴△O′DB是等腰三角形

（2）

解：設點D的坐標為（1，a），則AD=a，

∵點B的坐標是（1，3），

∴O′D=3﹣a，

在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，

∴a2+12=（3﹣a）2，

解得a= ，

∴點D的坐標為（1， ），

設直線C′O′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴邊C′O′所在直線的解析式：y=﹣ x+

（3）

解：∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，

∴△AOM是等腰直角三角形，

①PM是另一直角邊時，∠PMA=45°，

∴PA=AM=1，點P與點O′重合，

∴點P的坐標是（2，0），

②PO是另一直角邊，∠POA=45°，則PO所在的直線為y=x，

∴ ，

解得 ，

∴點P的坐標為P（2，0）或（ ， ）．

【解析】（1）連接OB，O′B，根據旋轉的性質可得OB=O′B，再根據矩形的性質BA⊥OA，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AO=AO′，然后根據點B的坐標求出AO的長度，再得到AO′的長度，點O′的坐標即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據全等三角形對應邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；（2）設點D的坐標是（1，a），表示出O′D的長度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點D的坐標，再根據待定系數法列式即可求出直線C′O′的解析式；（3）根據AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進行計算即可得解．
【考點精析】掌握全等三角形的性質和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．