Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作一直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、N．
（1）試用中心對(duì)稱的性質(zhì)說(shuō)明梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）若將矩形ABCD沿MN翻折后，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合，則MN滿足什么條件（只要求寫出滿足的條件，不要求說(shuō)明理由）？
（3）在（2）條件下若翻折后不重疊部分（△ABM的面積是重疊部分（陰影部分）面積的$\frac{1}{2}$（如圖②），請(qǐng)?zhí)骄緽M與MC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MCO=∠ANO，然后利用“角邊角”證明△AON和△COM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=CM，ON=OM，得出梯形ABMN和梯形CDNM關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)，MN與AC互相垂直時(shí)點(diǎn)C與A重合；
（3）連接AM，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AM=AN，利用“HL”證明△ABM和△AD′N全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△AD′N=S_△ABM，再根據(jù)三角形的面積求出BM=$\frac{1}{2}$AN，然后求解即可．

解答 （1）證明：如圖①，
∵O為對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴AO=CO，OB=OD，AD∥BC，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠MCO=∠ANO，
在△AON和△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠ANO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AON=∠COM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN=CM，ON=OM，
∴梯形ABMN和梯形CDNM關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
∴梯形ABMN≌梯形CDNM，
∴梯形ABMN的面積等于梯形CDNM的面積；
（2）解：當(dāng)MN滿足MN⊥AC時(shí)，才能使得點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合．
（3）解：如圖，連接AM，
∵矩形ABCD沿MN折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AM=MC，AD′=CD，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ABM和△AD′N中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{AB=AD'}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AD′N（HL），
∴S_△AD′N=S_△ABM，
∵翻折后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•BM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AN•AB，
∴BM=$\frac{1}{2}$AN，
∵AM=MC=AN，
∴BM：MC=1：4，
∴MC=4BM．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟記翻折前后的兩個(gè)圖形能夠完全重合得到相等的邊和角是解題的關(guān)鍵．