Question

【題目】如圖，在以AB為直徑的半圓中，將弧BC沿弦BC折疊交AB于點D，若AD=5，DB=7．

（1）求BC的長；

（2）求圓心到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圓心到BC的距離為．

【解析】（1）根據折疊的性質知：；若連接CD、AC，則∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；過C作AB的垂線，設垂足為E，則DE=AD，由此可求出BE的長，進而可在Rt△ABC中，根據射影定理求出BC的長．

（2）設圓心到BC的距離為h，利用勾股定理解答即可．

（1）連接CA、CD；

根據折疊的性質，得：；

∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；

∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），

∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；

過C作CE⊥AB于E，則AE=DE=2.5；

∴BE=BD+DE=9.5；

在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據射影定理，得：

BC2=BEAB=9.5×12=114；

故BC=．

（2）設圓心到BC的距離為h，圓的半徑為r=6，

由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，

∴，

∵sin=，

∴h=，

故圓心到BC的距離為．