Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上一點，E為邊AB的中點，過點A作AF∥BC，交DE的延長線于點F，連結BF．

（1）求證：四邊形ADBF是平行四邊形；

（2）當D為邊BC的中點，且BC＝2AC時，求證：四邊形ACDF為正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠BDE，根據全等三角形的性質得到AF=BD，于是得到結論；

（2）首先證明四邊形ACDF是矩形，再證明CA=CD即可解決問題；

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠BDE，

在△AEF與△BED中，

，

∴△AEF≌△BED，

∴AF＝BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形ADBF是平行四邊形；

（2）解：∵CD＝DB，AE＝BE，

∴DE∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∵AF∥BC，

∴∠AFD＝∠FDB＝90°，

∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，

∴四邊形ACDF是矩形，

∵BC＝2AC，CD＝BD，

∴CA＝CD，

∴四邊形ACDF是正方形．