Question

如圖（3），在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足為點O,過點A作射線AE∥BC，點P是邊BC上任意一點，連結PO并延長與射線AE相交于點Q，設B，P兩點之間的距離為x，過點Q作直線BC的垂線，垂足為R. 下面五個結論，正確的有(   )個

①△AOB≌△COB；    ②當0<x<10時，△AOQ≌△COP；   ③當x =5時，四邊形ABPQ是平行四邊形；④當x =0或x =10時，都有△PQR∽△CBO；⑤當時，△PQR與△CBO一定相似.

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

C解析:
①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，∴△AOB≌△COB；故此選項正確；
②∵AE∥BC，∴∠AQO=∠OCP，∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，∴當0＜x＜10時，△AOQ≌△COP；故此選項正確；
③當x=5時，∴BP=PC=5，∵AQ=PC，∴AQ=PB=5，∵AQ∥BC，∴四邊形ABPQ是平行四邊形；故此選項正確；
④當x=0時，P與B重合，∴∠OBC=∠QPR，又∵∠BOC=∠PRQ=90°，∴△COB∽△QRP；當x=10時，P與C重合，此時Q與A重合，R與R′重合，∵∠QPR=∠BOP，∠QRP=∠BOC=90°，∴△QRP∽△BOC，都不是△PQR∽△CBO，即對應頂點不對，故此選項錯誤；
⑤當x=時，∵BC=8，CO=6，∴BO=8，∵BP=2.8，∴PC=7.2， BC×AR′=BO×AC，∴AR′=QR=9.6，∴QR：BO=PC：CO=1.2，∴△PQR與△CBO一定相似．故此選項正確．故正確的有4條．故選C．