Question

【題目】如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF．
（1）求證：CB是⊙O的切線；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，與AF相交于點G，

∵CE與⊙O相切于點D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DOC=∠BOC，

在△CDO和△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴CB是⊙O的切線

（2）證明：由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，

∵∠ECB=60°，

∴∠DCO=∠BCO= ∠ECB=30°，

∴∠DOC=∠BOC=60°，

∴∠DOA=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG，

∴S△ADG=S△FOG，

∵AB=6，

∴⊙O的半徑r=3，

∴S陰=S扇形ODF= = π．

【解析】（1）欲證明CB是⊙O的切線，只要證明BC⊥OB，可以證明△CDO≌△CBO解決問題．（2）首先證明S陰=S扇形ODF ， 然后利用扇形面積公式計算即可．