Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于點D，以D為圓心DC為半徑作⊙D交AD于點G，過點G作⊙D的切線交AB于點F，且F恰好為AB中點．
（1）求tan∠ACD的值．
（2）連結CG并延長交AB于點H，若AH=2，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵FG與⊙D相切，

∴∠DGF=90°，

∵AD⊥BC

∴FG∥CB，

∵F為AB中點，

∴ = = ，

∴AD=2GD=2CD，

∴tan∠ACD= =2．

（2）解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠B=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB=45°

∵GD=CD，∠GDC=90°，

∴△CGD是等腰直角三角形，

∴∠GCD=45°

∴∠AHC=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形，

∵AH=2，

∴HG=2，AG=2 ．

∴GD=2 ，

∴CG=4，

∴HC=6，

∴AC= =2 ．

【解析】（1）只要證明AD=2CD即可解決問題；（2）只要證明：△ADB，△CGD，△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質即可解決問題；
【考點精析】認真審題，首先需要了解直角三角形斜邊上的中線(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．