Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CD切⊙O于點C， ，BD交⊙O于點E，連CE

（1）求證：

（2）若，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接AC，OC，由AB是⊙O的直徑，得到∠A+∠ABC=90°，由垂直的定義得到∠DCB+∠CBD=90°，根據切線的性質得到∠CDB=∠A，即可得到結論；

（2）連接AE，由勾股定理得到BC=2，由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°=∠AEB，推出△BCD∽△CED，根據相似三角形的性質得到ED= =8，BE=6AB=＝10，由三角函數的定義即可得到結論．

試題解析：（1）證明：連接AC，OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵BD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠DCB+∠CBD=90°，

∵CD切⊙O于點C，

∴∠CDB=∠A，

∴∠ABC=∠DBC；

（2）解：連接AC，AE，

∵∠D=90°，

∴BC=2，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°=∠AEB，

∴∠BAC+∠ABC=90°=∠DBC+∠BCD，

∴∠BCD=∠BAC=∠CED，

∴△BCD∽△CED，

∴，

∴ED==8，BE=6，

∵△BCD∽△BAC，

∴，

∴AB=＝10，

∴AE==8，

∴cos∠ECB=cos∠BAE=．