Question

如圖1所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現將其剪開展成平面圖，如圖2所示．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．
（1）求在該展開圖中可畫出最長線段的長度這樣的線段可畫幾條？
（2）試比較立體圖中∠BAC與平面展開圖中∠B′A′C′的大小關系？

Answer 1

【答案】分析：（1）由長方形中最長的線段為對角線，從而可根據已知運用勾股定理求得最長線段的長，又因為展開圖形中有兩個長方形，每個長方形有兩條對角線，知這樣的線段可畫4條；
（2）要確定角的大小關系，一般把兩個角分別放在兩個三角形中，然后根據三角形的特點或者全等或者相似形來解．
解答：解：（1）在平面展開圖中可畫出最長的線段長為，（1分）
如圖（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
∴．（3分）
答：這樣的線段可畫4條（另三條用虛線標出）．（4分）


（2）∵立體圖中∠BAC為平面等腰直角三角形的一銳角，∴∠BAC=45°．（5分）
在平面展開圖中，連接線段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=，B'C'=．（7分）
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'為直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′為等腰直角三角形．（8分）
∴∠B′A′C′=45°．（9分）
∴∠BAC與∠B′A′C′相等．（10分）
點評：本題綜合考查了展開與折疊，等腰直角三角形，勾股定理的知識，是一道綜合性比較強的題，難度中等．