Question

【題目】如圖，與相切于點，為的弦，，與相交于點；

（1）求證：；

（2）若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）BP=.

【解析】

試題分析：(1)根據已知條件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因為∠APB=∠CPO， 即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB；（2）過點A作ADBP，垂足為D，所以∠ADP=90°，PD=BP，由勾股定理求得OA的長，再由勾股定理求得CP的長，由∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，證得△ADP∽△COP，根據相似三角形的性質求得PD的長，即可得BP的長.

試題解析：（1）因為與相切于點，所以,∠ABP+∠OBC=90°，

因為，所以∠C+∠CPO=90°，

因為∠APB=∠CPO，所以∠C+∠APB=90°，

因為OC=OB，所以∠C=∠OBC,

所以∠ABP=∠APB,

因此AP=AB.

(2) 過點A作ADBP，垂足為D，所以∠ADP=90°，PD=BP

因為∠ABO=90°，，，所以,故OA=5

因為AP=AB=3，所以OP=OA-AP=2

因為∠COP=90°，所以,

因為∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，所以△ADP∽△COP.

所以,即PD= ，所以BP=.