Question

在一次數學實驗探究課中，需要研究兩個同心圓內有關線段的關系問題，某同學完成了以下部分記錄單：
記錄單                                      （單位：cm）

	第一次	第二次	第三次
圖形 R=5 r=3
AB	2.50	3.00	3.50
AC	6.40	5.33	4.57
AB•AC

（1）請用計算器計算AB•AC的值，并填入上表的相應位置；
（2）對半徑分別為R、r的兩個同心圓，猜測AB•AC與R、r的關系式，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用計算器進行準確計算；
（2）首先根據（1）中計算的數值，可以猜想AB•AC=R²-r²，然后進一步運用相似三角形的性質進行證明．

解答：解：（1）AB•AC=2.5×6.4=16；
AB•AC=3.00×5.33=15.99；
AB•AC=15.995；

（2）因為R²-r²=16，所以AB•AC=R²-r²．證明如下：
過點O作直線AE，交小圓與D，E，連接BD、CE．
∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，
∴△ABD∽△AEC．
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
即AB•AC=AD•AE=（R+r）（R-r）=R²-r²．

點評：此題考查了學生數學中的猜想探究能力，能夠熟練運用相似三角形的判定和性質進行證明．