Question

【題目】如圖（1），拋物線y＝ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝x+5經過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（2），若過點B的直線交直線AC于點M．

①當BM⊥AC時，過拋物線上一動點P（不與點B，C重合），作直線BM的平行線交AC于點Q，若以點B，M，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

②連結BC，當直線BM與直線AC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+6x+5；（2）①點P的橫坐標為﹣4，或；②點M的坐標為（，）或（，）

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，由點A，C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標；

①分四邊形BMQP為平行四邊形和四邊形BMPQ為平行四邊形兩種情況考慮：（i）當四邊形BMQP為平行四邊形時，過點B作BP1∥AC，交拋物線于點P1，由直線AC的解析式結合點B的坐標可得出直線BP1的解析式，聯立直線BP1和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可得出點P1的橫坐標；（ii）當四邊形BMPQ為平行四邊形時，過點A作AD∥y軸，交直線BM于點D，易求點D的坐標為（﹣5，4），過點D作直線P2P3∥AC，交拋物線于點P2，P3，由直線AC的解析式結合點D的坐標可得出直線P2P3的解析式，聯立直線P2P3和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點P2，P3的橫坐標；

②作BC的垂直平分線l，垂足為E，交AC于點M1，作BN⊥AC于點N，作點M1關于點N的對稱點M2，M1，M2符合條件，由點B，C的坐標可求出直線BC的解析式及點E的坐標，結合直線l⊥BC可求出直線l的解析式，聯立直線l和直線AC的解析式成方程組，通過解方程組可求出點M1的坐標；由直線AC的解析式、點B的坐標及BN⊥AC可求出直線ON的解析式，聯立直線ON和直線AC的解析式成方程組，通過解方程組可求出點N的坐標，再結合點N為線段M1M2的中點可求出點M2的坐標．

（1）當x＝0時，y＝x+5＝5，

∴點C的坐標為（0，5）；

當y＝0時，x+5＝0，

解得：x＝﹣5，

∴點A的坐標為（﹣5，0）．

將A（﹣5，0），C（0，5）代入y＝ax2+6x+c，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝x2+6x+5．

（2）當y＝0時，x2+6x+5＝0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴點B的坐標為（﹣1，0）．

①∵PQ∥BM，

∴分兩種情況考慮，如圖1所示：

（i）當四邊形BMQP為平行四邊形時，過點B作BP1∥AC，交拋物線于點P1．

∵直線AC的解析式為y＝x+5，

∴設直線BP1的解析式為y＝x+b，

將B（﹣1，0）代入y＝x+b，得：﹣1+b＝0，

解得：b＝1，

∴直線BP1的解析式為y＝x+1．

聯立直線BP1和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點P1的橫坐標為﹣4；

（ii）當四邊形BMPQ為平行四邊形時，過點A作AD∥y軸，交直線BM于點D，過點D作直線P2P3∥AC，交拋物線于點P2，P3．

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝45°．

∵BM⊥AC，DA⊥AB，

∴∠AMB＝90°，∠ABM＝45°，∠ADM＝45°．

在△AMD和△AMB中，，

∴△AMD≌△AMB（AAS），

∴AD＝AB，DM＝BM．

∴點D的坐標為（﹣5，4）．

又∵直線AC的解析式為y＝x+5，

∴直線P2P3的解析式為y＝x+9．

聯立直線P2P3和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

∴點P2的橫坐標為，點P3的橫坐標為．

綜上所述：點P的橫坐標為﹣4，或．

（3）作BC的垂直平分線l，垂足為E，交AC于點M1，作BN⊥AC于點N，作點M1關于點N的對稱點M2，M1，M2符合條件．如圖2所示．

∵點B的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，5），

∴點E的坐標為（﹣，），直線BC的解析式為y＝5x+5，

∴直線l的解析式為y＝﹣x+．

聯立直線l和直線AC的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點M1的坐標為（，）．

∵直線AC的解析式為y＝x+5，點B的坐標為（﹣1，0），BN⊥AC，

∴直線ON的解析式為y＝﹣x﹣1．

聯立直線ON和直線AC的解析式成方程組，得：，

解得：，

∴點N的坐標為（﹣3，2）．

又∵點N為線段M1M2的中點，

∴點M2的坐標為（，）．

∴點M的坐標為（，）或（，）．