Question

【題目】如圖，已知，現將直角三角形放入圖中，其中，交于點，交于點．

（1）當直角三角形所放位置如圖①所示時，與存在怎樣的數量關系?請說明理由．

（2）當直角三角形所放位置如圖②所示時，請直接寫出與之間存在的數量關系．

（3）在（2）的條件下，若與交于點，且，則的度數為．

Answer 1

【答案】（1）∠PFD+∠AEM=90°，理由見解析；（2）∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）30°．

【解析】

（1）延長MP，交CD于點H，根據AB∥CD得到∠1=∠AEM ，因為∠NPM=90°等量代換即可得出結論，

（2）由題意知：∠AEM=∠PEH，∠PHE=∠BHF，得到∠AEM+∠BHF=90°，再由AB∥CD得到∠PFD+∠BHF=180°，根據等式性質代入即可，

（3）作MQ∥CD，根據AB∥CD∥MQ得∠AEM=∠PMQ，∠QMN=∠MOC，等量代換即可求解．

（1）∠PFD+∠AEM=90°，

延長MP，交CD于點H，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠AEM ，

∵∠NPM=90°，

∴∠FPH=180°﹣∠NPM=90°，

∵∠1＋∠PFD＋∠FPH=180°，

∴∠1＋∠PFD=90°，

∴∠PFD+∠AEM=90°；

（2）如圖：

∠PFD﹣∠AEM=90°，

由題意知：∠AEM=∠PEH，∠PHE=∠BHF，

∵∠PEH+∠PHE=90°，

∴∠AEM+∠BHF=90°，

又AB∥CD，

∴∠PFD+∠BHF=180°，

∴∠PFD+∠BHF-（∠AEM+∠BHF）=180°-90°

即∠PFD﹣∠AEM=90°，

（3）30°

作MQ∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥MQ，

∴∠AEM=∠PMQ，∠QMN=∠MOC，

∵，∠DON=∠MOC，

∴∠PMQ=40°，∠QMN=20°，

∴∠PMN=60°，

又∠P=90°，

∴∠N=90°-60°=30°．