Question

已知：如圖①，△ABC為邊長為2的等邊三角形，D、E、F分別為AB、AC、BC中點，連接DE、DF、EF．將△BDF向右平移，使點B與點C重合；將△ADE向下平移，使點A與點C重合，如圖②．
（1）設△ADE、△BDF、△EFC的面積分別為 S₁、S₂、S₃，則S₁+S₂+S3

3

（用“＜、=、＞”填空）

（2）已知：如圖③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，設△ABO、△FEO、△CDO的面積分別為S₁、S₂、S₃；問：上述結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（可利用圖④進行探究）

Answer 1

分析：根據

解答：解：（1）S₁+S₂+S₃＜

3

（2分）

（2）結論成立（3分）
證明一：延長OB到H使BH=OE
延長OA到G使AG=OD
連接HG（4分）
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等邊三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S_△GHO=

3

（5分）
在HG上取點M，使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中，

MG=CO ∠G=∠COD=60° GA=OD

∴△MGA≌△COD
同理可證：△MHB≌△FOE（6分）
∴S₂=S_△MHB，S₃=S_△MGA
由圖形可知：S_△ABO+S_△MHB+S_△MGA＜S_△GHO，
∴S₁+S₂+S₃＜S_△GHO=

3

即S₁+S₂+S₃＜

3

．

點評：本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點，由于知識點比較多，本題的難度比較大．