Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：y=－2x＋b (b≥0)的位置隨b的不同取值而變化．
(1)已知⊙M的圓心坐標(biāo)為(4，2)，半徑為2．
當(dāng)b=　　　　時(shí)，直線：y=－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M：
當(dāng)b=　　　　時(shí)，直線：y=－2x＋b(b≥0)與OM相切：
(2)若把⊙M換成矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
設(shè)直線掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請(qǐng)求出S與b的函數(shù)關(guān)系式，

Answer 1

解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D（2，2）。
如圖，當(dāng)直線經(jīng)過A(2，0)時(shí)，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D（2，2）時(shí)，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B（6，0）時(shí)，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C(6，2)時(shí)，b=14。

當(dāng)0≤b≤4時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為0。
當(dāng)4＜b≤6時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為△EFA的面積（如圖1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，則E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，則F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
當(dāng)6＜b≤12時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為直角梯形DHGA的面積（如圖2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，則G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
當(dāng)12＜b≤14時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為五邊形DMNBA的面積=矩形ABCD的面積－△CMN的面積（如圖3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，則M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，則N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
當(dāng)b＞14時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為矩形ABCD的面積，面積為民8。
綜上所述。S與b的函數(shù)關(guān)系式為：
。

直線平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性質(zhì)。
【分析】（1）①∵直線y=－2x＋b (b≥0)經(jīng)過圓心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如圖，作點(diǎn)M垂直于直線y=－2x＋b于點(diǎn)P，過點(diǎn)
P作PH∥x軸，過點(diǎn)M作MH⊥PH，二者交于點(diǎn)H。設(shè)直線y=－2x＋b與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B。

則由△OAB∽△HMP，得。
∴可設(shè)直線MP的解析式為。
由M(4，2)，得，解得。∴直線MP的解析式為。
聯(lián)立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化簡(jiǎn)得。
解得。
（2）求出直線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)時(shí)b的值，從而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五種情況分別討論即可。