Question

已知，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O，與斜邊AC交于點D，過點D作圓O的切線交BC邊于點E．

(1)如圖，求證EB=EC=ED

(2)若∠DEF=∠C，EF交DC于點F，求證：BC²=4DF?DC

Answer 1

(1)證明:連結DO

因為BC⊥OB，因為DE是圓O的切線，D是切點，

∠ODE=90°   ∴∠ODE=∠B=90°

OD=OB  OE=OE  ∴△ODE≌△OBE(HL)

      ∴BE=DE，∠DOE=∠BOE

∵OA=OD,  ∴∠A=∠ODA

∵∠DOE+∠BOE =∠A+∠ODA，

∴∠A=∠EOB   OE∥AC

∵AO=BO，∴CE=BE，即EB=EC=ED

(2)證明：∵∠CDE=∠EDF，∠DEF=∠C， 

         ∴△DEC∽△DEF，,

         DE²=DF?CD  而DE=BC，  

         ∴BC²=4DF?CD