Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有一組有規(guī)律的點(diǎn)：

A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）….依此規(guī)律可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有點(diǎn)An (n－1，1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有點(diǎn)An(n－1，0)．

拋物線C1經(jīng)過(guò)A1，A2，A3三點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過(guò)A2，A3，A4三點(diǎn)，拋物線C3經(jīng)過(guò)A3，A4，A5三點(diǎn)，…拋物線Cn經(jīng)過(guò)An，An＋1，An＋2．

（1）直接寫(xiě)出拋物線C1，C4的解析式；

（2）若點(diǎn)E（e，f1）、F（e，f2）分別在拋物線C27、C28上，當(dāng)e＝29時(shí)，求證：△A26EF是等腰直角三角形；

（3）若直線x＝m分別交x軸、拋物線C2014、C2015于點(diǎn)P、M、N，作直線A2015 M、A2015 N，當(dāng)∠A2015 NM＝90°時(shí)，求sin∠A2015 MN的值．

Answer 1

【答案】（1）y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)頂點(diǎn)式即可求出C1，C4的解析式;

(2)由特殊出發(fā),可以發(fā)現(xiàn)拋物線C27、C28的解析式應(yīng)該為: y27＝(x－27)2, y28＝－(x－28)2＋1.則得到點(diǎn)E（29，4）、F（29，0）,根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得EF, 從而說(shuō)明△A26EF是等腰直角三角形;

(3) 如圖，要使∠A2015 NM＝90°，直線x＝m只能在點(diǎn)A2015的右側(cè)，根據(jù)三角函數(shù)即可得到sin∠A2015 MN的值.

解:（1）根據(jù)頂點(diǎn)式容易求出C1，C4的解析式分別為：

y1＝(x－1)2， y4＝－(x－4)2＋1．

（2）由特殊出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點(diǎn)：

y1＝(x－1)2

y3＝(x－3)2

……

y2＝－(x－2)2＋1

y4＝－(x－4)2＋1

……

∴如圖所示，拋物線C27的解析式為：y27＝(x－27)2,且過(guò)點(diǎn)A27，A28，A29 ,

拋物線C28的解析式為：y28＝－(x－28)2＋1．且過(guò)點(diǎn)A28，A29，A30,

∵點(diǎn)E（e，f1）、F（e，f2）分別在拋物線C27、C28上， e＝29，

∴f1＝(29－27)2＝4，f2＝－(29－28)2+1＝0，

∴點(diǎn)E（e，f1）、F（e，f2）坐標(biāo)分別為E（29，4）、F（29，0）；

∵A26的坐標(biāo)是（25，0），點(diǎn)F（29，0）與點(diǎn)A30重合，

∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且與軸平行, ∠EF A26=90°,

∴△A26EF是等腰直角三角形；

（3）由（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，

過(guò)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)，

點(diǎn)A2015坐標(biāo)為（2014，1）．

如圖，要使∠A2015 NM＝90°，直線x＝m只能在點(diǎn)A2015的右側(cè)，

此時(shí)，∠A2015 N平行于軸，

∴PN=1．

∵點(diǎn)N在上，

∴， 或2015（舍去）．

∴∠A2015 N=2，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2016．

∴=－3．

∴MN=1－（－3）=4，A2015 M=．

，∴sin∠A2015 MN的值為．

點(diǎn)睛:本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：頂點(diǎn)式求拋物線的解析式，兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理逆定理，三角函數(shù)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.