Question

【題目】已知，△ADB內接于⊙O，DG⊥AB于點G，交⊙O于點C，點E是⊙O上一點，連接AE分別交CD、BD于點H、F．

（1）如圖1，當AE經過圓心O時，求證：∠AHG=∠ADB；

（2）如圖2，當AE不經過點O時，連接BC、BH，若∠GBC=∠HBG時，求證：HF=EF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．

Answer 1

【答案】見解析．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，連接BE，由DG∥BE，推出∠AEB=∠AHG，由∠ADB=∠AEB，即可推出∠ADB=∠AHG．

（2）連接AC、DE，EB、AC、BC．只要證明HG=CG，∠EDB=∠CDB，根據等腰三角形三線合一即可證明．

（3）過點O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分別為N、M，連接OD、OE、OA、OB．只要證明△NOE≌△MBO，推出NE=OM=3，OB==5，在RT△OMB中，根據sin∠OBM=，計算即可．

試題解析：證明：（1）如圖1中，連接BE，

∵AE是⊙O的直徑∴∠ABE=90°，

∵DG⊥AB，

∴∠ABE=∠AGD=90°，

∴DG∥BE，

∴∠AEB=∠AHG，

∵∠ADB=∠AEB

∴∠ADB=∠AHG．

（2）連接AC、DE，EB、AC、BC．

∠GBC=∠HBG，DG⊥AB

∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，

∴HG=CG，

∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG

∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，

∴∠AED=∠DHE，

∴DH=DE，

∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，

∴∠EDB=∠CDB，

∴HF=EF．

（3）過點O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分別為N、M，連接OD、OE、OA、OB．

∴BM=AB=4，

∵DH=DE=6，HF=EF，

∴DF⊥AE，

∴∠DAE+∠BDA=90°，

∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB，

∴∠BOA+∠EOD=180°，

∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，

∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，

∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，

∴△NOE≌△MBO

∴NE=OM=3，

∴OB==5，

∵∠ADB=∠BOM，

∴∠DAF=∠OBM，

在RT△OMB中sin∠OBM==

∴sin∠DAE=．