Question

閱讀材料：
如圖（1），在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為點O．
求證：S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD；
證明：∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC•OD+

1

2

AC•BO=

1

2

AC（OD+OB）=

1

2

AC•BD
解答下列問題：
（1）上述證明得到的結論可敘述為

對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半

；
（2）如圖2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，且AC=8，則S_梯形ABCD=

32

；
（3）如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，則S_菱形ABCD=

24

．

Answer 1

分析：（1）根據題給材料S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD，即可寫出答案；
（2）根據等腰梯形的性質可知AC=BD，再利用（1）中的結論進行求解；
（3）根據菱形的對角線互相垂直平分，先根據勾股定理求出BO的長，繼而得出BD的長，再利用（1）中的結論求解．

解答：解：（1）根據題意得：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．

（2）∵AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD=8，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×AC×BD=

1

2

×8×8=32…（4分）

（3）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
在Rt△AOB中，AO=4，AB=5，根據勾股定理得：BO=3，
∴BD=6，
∴S_菱形ABCD=，

1

2

×AC×BD=

1

2

×6×8=24…（6分）
故答案為：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半；32，24．

點評：本題考查梯形的知識，同時用到了等腰梯形的性質、菱形的性質及勾股定理的知識，注意這些知識的熟練掌握及靈活運用，難度一般．